Para calcular a incerteza de medição pelo GUM (Guia para a Expressão da Incerteza de Medição, JCGM 100:2008), você lista as fontes de incerteza, converte cada uma em incerteza-padrão (tipo A pela estatística das leituras repetidas, tipo B pelo certificado do padrão, pela resolução e por outras informações), combina tudo pela raiz da soma dos quadrados (uc), calcula os graus de liberdade efetivos (veff) pela fórmula de Welch-Satterthwaite, escolhe o fator de abrangência k na tabela t de Student e multiplica: U = k·uc. O resultado U é o número de incerteza que vai para o certificado de calibração.
O lugar da incerteza no processo inteiro, do pedido ao certificado, está explicado no guia de calibração.
A maioria dos textos sobre o tema para na fórmula. Aqui a conta vai até o fim, com números, para um ponto de calibração de um manômetro: é o caminho que o laboratório percorre até o “U = 0,015 bar; k = 2,37” do certificado. O GUM tem tradução do Inmetro, de 2012, com o título “Avaliação de dados de medição: Guia para a expressão de incerteza de medição”.
Encontrou um termo técnico? O glossário de calibração de A a Z explica mais de 100 termos, de incerteza e RBC a TUR, EMA e regra de decisão.
O que é incerteza de medição, em uma frase
A incerteza de medição é o parâmetro que caracteriza a dispersão dos valores que podem ser atribuídos ao mensurando, segundo o VIM (Vocabulário Internacional de Metrologia, JCGM 200:2012, adotado no Brasil pelo Inmetro). Ela não se confunde com o erro de medição, que é a diferença entre a indicação do instrumento e o valor de referência. O certificado traz os dois, e você precisa dos dois para decidir.
Antes da conta: defina o mensurando e o modelo
Na calibração por comparação direta, o mensurando é o erro do instrumento em cada ponto. O modelo matemático mais simples é:
E = VI − VVC
em que VI é a média das indicações do instrumento e VVC é o valor verdadeiro convencional, ou seja, a média das leituras do padrão já corrigidas pelo erro que o certificado do padrão informa. Como E depende de VI e VVC com peso 1, os coeficientes de sensibilidade (ci) de todas as fontes deste exemplo valem 1. Em modelos com conversão de unidade ou correção de temperatura, cada parcela é multiplicada pelo seu ci.
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Os dados do exemplo: manômetro de 0 a 10 bar no ponto de 8 bar
Situação de exemplo, com números inventados para fins didáticos:
- Instrumento: manômetro digital industrial de 0 a 10 bar, resolução de 0,01 bar.
- Padrão: manômetro digital padrão com resolução de 0,001 bar. O certificado dele, no ponto de 8 bar, informa erro de +0,002 bar e incerteza expandida U = 0,004 bar com k = 2,00.
- Montagem: os dois ligados a uma bomba comparadora, em bancada com temperatura controlada. Cinco leituras simultâneas no ponto de 8 bar, em ciclo crescente.
| Leitura | Padrão (bar) | Padrão corrigido (bar) | Instrumento (bar) |
|---|---|---|---|
| 1 | 8,002 | 8,000 | 8,05 |
| 2 | 8,004 | 8,002 | 8,03 |
| 3 | 8,001 | 7,999 | 8,06 |
| 4 | 8,003 | 8,001 | 8,04 |
| 5 | 8,005 | 8,003 | 8,05 |
| Média | 8,003 | 8,001 | 8,046 |
A coluna “padrão corrigido” subtrai o erro de +0,002 bar que o certificado do padrão declara nesse ponto. Se você não corrigir, o erro do padrão vai parar inteiro no erro do instrumento.
Passo 1: calcule as médias e o erro
VVC = 8,001 bar e VI = 8,046 bar. Então:
E = 8,046 − 8,001 = +0,045 bar, ou 0,45 % do fundo de escala.
Passo 2: avalie as componentes tipo A
A avaliação tipo A usa estatística das leituras repetidas. Para cada conjunto de leituras, calcule o desvio-padrão experimental s e divida por √n, porque o resultado usado é a média.
Repetitividade do instrumento (ua2). Os desvios em relação à média de 8,046 são +0,004; −0,016; +0,014; −0,006 e +0,004 bar. A soma dos quadrados dá 0,00052; dividida por n − 1 = 4, dá 0,00013; a raiz é s = 0,0114 bar. Logo, ua2 = 0,0114 / √5 = 0,0051 bar, com ν = 4 graus de liberdade.
Repetitividade do padrão (ua1). Pelo mesmo cálculo, s = 0,00158 bar e ua1 = 0,00158 / √5 = 0,00071 bar, também com ν = 4.
Passo 3: avalie as componentes tipo B
A avaliação tipo B usa qualquer informação que não seja estatística das leituras feitas agora. O valor informado é convertido em incerteza-padrão por um divisor que depende da distribuição assumida. A diferença entre os dois tipos, com mais exemplos, está em incerteza tipo A e tipo B.
Resolução do instrumento (ub1). A indicação digital de 0,01 bar significa que o valor real pode estar em qualquer lugar dentro de ±0,005 bar do número mostrado, com a mesma chance. É uma distribuição retangular, e o divisor é √3: ub1 = 0,005 / √3 = 0,00289 bar.
Incerteza herdada do padrão (ub2). O certificado do padrão diz U = 0,004 bar com k = 2,00. A incerteza-padrão é U dividido pelo k declarado: ub2 = 0,004 / 2,00 = 0,0020 bar. Com k = 2,00 no certificado, os graus de liberdade dessa parcela são tratados como infinitos; se o k declarado fosse 2,52, o divisor seria 2,52.
O que ficou de fora (e não deveria ficar num procedimento real)
Para manter a conta legível, o exemplo ignora a resolução do padrão (0,001 bar, desprezível aqui), a histerese, a diferença de altura entre as tomadas de pressão e a influência da temperatura. Num manômetro calibrado nos dois sentidos, a histerese costuma ser uma das maiores parcelas. O orçamento do seu procedimento precisa justificar o que entra e o que sai.
Passo 4: monte o orçamento de incerteza
O orçamento (ou balanço) de incerteza reúne todas as fontes. É o que o auditor pede para entender de onde veio o U.
| Fonte | Tipo | Estimativa | Distribuição | Divisor | ci | ui (bar) | ν | Contribuição |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Resolução do instrumento (ub1) | B | ±0,005 bar | Retangular | √3 | 1 | 0,00289 | ∞ | 21,5 % |
| Repetitividade do padrão (ua1) | A | s = 0,00158 bar | Normal | √5 | 1 | 0,00071 | 4 | 1,3 % |
| Incerteza herdada do padrão (ub2) | B | U = 0,004 bar; k = 2,00 | Normal | 2,00 | 1 | 0,00200 | ∞ | 10,3 % |
| Repetitividade do instrumento (ua2) | A | s = 0,0114 bar | Normal | √5 | 1 | 0,00510 | 4 | 67,0 % |
| Incerteza combinada (uc) | 0,00623 | 8,9 | 100 % |
A contribuição de cada linha é a fração da variância: ui² dividido por uc². A soma das variâncias é 0,00289² + 0,00071² + 0,00200² + 0,00510² = 3,88 × 10⁻⁵ bar², e a raiz dá uc = 0,00623 bar.
Passo 5: calcule os graus de liberdade efetivos
Os graus de liberdade efetivos dizem quanta informação sustenta uc. A fórmula de Welch-Satterthwaite (GUM, anexo G) é:
veff = uc⁴ / Σ (ui⁴ / νi)
As parcelas tipo B com ν infinito somem do denominador. Sobram as duas tipo A:
- uc⁴ = (0,00623)⁴ = 1,508 × 10⁻⁹
- ua2⁴ / 4 = 1,690 × 10⁻¹⁰
- ua1⁴ / 4 = 6,3 × 10⁻¹⁴ (desprezível)
veff = 1,508 × 10⁻⁹ / 1,691 × 10⁻¹⁰ = 8,9. O GUM orienta truncar para o inteiro de baixo (ou interpolar na tabela), então veff = 8.
Passo 6: escolha o fator de abrangência k
Com veff = 8 e probabilidade de abrangência de 95,45 %, a tabela t de Student do GUM (tabela G.2) dá k = 2,37. Se veff fosse infinito, k seria 2,00. Por que a diferença existe e a tabela completa estão em incerteza expandida e fator k; o verbete fator de abrangência resume o conceito.
Passo 7: calcule a incerteza expandida
U = k · uc = 2,37 × 0,00623 = 0,0148 bar. O GUM recomenda declarar a incerteza com no máximo dois algarismos significativos, e o erro com a mesma casa decimal. O resultado do ponto fica assim:
| Grandeza | Valor |
|---|---|
| Valor verdadeiro convencional (VVC) | 8,001 bar |
| Indicação média do instrumento (VI) | 8,046 bar |
| Erro (E) | +0,045 bar |
| Incerteza combinada (uc) | 0,0062 bar |
| Graus de liberdade efetivos (veff) | 8 |
| Fator de abrangência (k) | 2,37 |
| Incerteza expandida (U), p ≈ 95,45 % | 0,015 bar |
Se o técnico tivesse usado k = 2 “por costume”, declararia U = 0,012 bar, cerca de 15 % menor do que o correto. Perto do limite, essa diferença muda o resultado da avaliação.
Tire a calibração da planilha. No Sismetro, o certificado sai no padrão da ABNT NBR ISO/IEC 17025, com incerteza calculada pelo GUM, rastreabilidade dos padrões e QR code de validação. Comece grátis, sem cartão e sem taxa de ativação: a migração dos seus dados é por nossa conta.
O que o orçamento está dizendo
A coluna de contribuição é a parte mais útil para quem gerencia. Dois terços da incerteza vêm da repetitividade do instrumento. Trocar o padrão por um dez vezes melhor tiraria só os 10 % da incerteza herdada, e U quase não mudaria. Já fazer dez leituras em vez de cinco, mantendo o mesmo desvio-padrão, reduz a parcela tipo A e aumenta os graus de liberdade: veff sobe para cerca de 34, k cai para 2,08 e U fica em torno de 0,011 bar.
Se a repetitividade continuar alta mesmo com mais leituras, olhe o instrumento (folga, sensor instável) ou a montagem (vazamento, bomba que não estabiliza). É informação de manutenção, não só de metrologia.
Como usar o U na decisão
O número de incerteza não aprova nem reprova nada sozinho. Ele entra no critério de aceitação que a empresa definiu. Suponha que o erro máximo admissível desse manômetro, para o processo em que ele está instalado, seja ±0,08 bar. Pela regra conservadora, |E| + U = 0,045 + 0,015 = 0,060 bar, abaixo de 0,08. Aprovado, usando 75 % da tolerância. Os detalhes de cada regra de decisão estão em critério de aceitação na calibração.
Erros comuns no cálculo de incerteza
- Fixar k = 2 na planilha. Funciona quando a parcela tipo A é pequena. Com três ou cinco leituras e repetitividade dominante, subestima U.
- Dividir a U do padrão sempre por 2. O divisor é o k que está no certificado do padrão. Se o certificado diz k = 2,28, use 2,28.
- Usar s em vez de s/√n. Se o resultado declarado é a média das leituras, a incerteza da média é s/√n. Se o uso real do instrumento é uma leitura única, o procedimento precisa considerar isso e declarar.
- Dar ν = n − 1 para componentes tipo B. Derruba veff e infla U sem motivo técnico.
- Esquecer a correção do padrão. O erro conhecido do padrão é corrigido no VVC; a incerteza dele entra no orçamento. São coisas diferentes, e as duas precisam aparecer.
Planilha ou sistema
Tudo isso cabe numa planilha. O problema aparece com escala: dezenas de pontos por instrumento, padrões que trocam de certificado e fórmulas editadas sem aviso. E a memória de cálculo precisa ser reproduzível, porque é ela que se mostra na auditoria.
No Sismetro, a emissão de certificado guarda a memória de cálculo de cada ponto com o mesmo caminho deste artigo: leituras do padrão e do instrumento, leitura do padrão corrigida, resolução, repetitividades, incerteza herdada do padrão (pelo VVC mais próximo ou por interpolação), uc, veff, k pela t de Student com 95,45 % e U, com um gráfico de contribuições por fonte. Cada canal tem sua tolerância, o certificado pode ter a autenticidade validada online e o plano Por vencimento do Playbook abre a SS da próxima calibração antes do prazo, com o checklist do procedimento. O uso é grátis para começar (até 10 certificados emitidos por ano); depois, você escolhe entre mensalidade por usuário ou pagamento por certificado emitido (R$ 15,90 de 11 a 100 certificados por ano e R$ 7,90 de 101 a 1.000), o que for melhor para a operação. Veja como funciona em calibração e metrologia.
Para praticar
Pegue o último certificado de um instrumento crítico e tente refazer a conta de um ponto. O k declarado conversa com o número de leituras? Se faltar informação, peça o orçamento de incerteza ao laboratório. Para entender o resto do documento, use o roteiro de como ler um certificado de calibração.
Perguntas frequentes
Como calcular a incerteza de medição passo a passo?
Identifique as fontes de incerteza, converta cada uma em incerteza-padrão (tipo A pela estatística das leituras, tipo B por certificado, resolução e outras informações), combine pela raiz da soma dos quadrados para obter uc, calcule os graus de liberdade efetivos por Welch-Satterthwaite, escolha k na tabela t de Student e multiplique: U = k·uc. É o método do GUM (JCGM 100:2008).
Qual a fórmula da incerteza combinada?
Para fontes não correlacionadas, uc = √(Σ (ci·ui)²), em que ui é a incerteza-padrão de cada fonte e ci o coeficiente de sensibilidade. Na calibração por comparação direta, em que o erro é a indicação menos o valor do padrão, os coeficientes valem 1 e a fórmula vira a raiz da soma dos quadrados das incertezas-padrão.
Por que o fator k nem sempre é 2?
Porque k = 2 só garante cerca de 95,45 % de abrangência quando a incerteza combinada é conhecida com muitos graus de liberdade. Com poucas leituras, o GUM manda usar a distribuição t de Student com os graus de liberdade efetivos. No exemplo deste artigo, com veff = 8, o k correto é 2,37.
Quantas leituras devo fazer por ponto de calibração?
Não há número universal; o procedimento da empresa ou do laboratório define. Na prática, três leituras costumam gerar veff baixo e k alto quando a repetitividade domina, e cinco a dez leituras dão um resultado bem mais estável. O orçamento de incerteza mostra se vale a pena repetir mais.