Fator de abrangência (k) é o número maior do que um pelo qual se multiplica a incerteza-padrão combinada (uc) para obter a Incerteza expandida (U). A relação é simples: U = k·uc. O valor de k define a probabilidade de abrangência, ou seja, a chance de o valor do mensurando estar dentro do intervalo y ± U. Em calibração, o padrão de mercado é buscar cerca de 95,45 %.
Por que k nem sempre é 2
O famoso k = 2 vem da distribuição normal: mais ou menos dois desvios-padrão cobrem 95,45 % da área da curva. Só que isso pressupõe que uc é conhecida com muita confiança. Quando a Incerteza de medição depende de poucas leituras repetidas, a estimativa do desvio-padrão é instável, e o GUM (Guia para a Expressão da Incerteza de Medição) manda usar a distribuição t de Student com os Graus de liberdade efetivos (veff) calculados por Welch-Satterthwaite.
A tabela abaixo traz os valores de t para 95,45 %, conforme a tabela de Student do GUM:
| veff | k (95,45 %) |
|---|---|
| 2 | 4,53 |
| 3 | 3,31 |
| 4 | 2,87 |
| 5 | 2,65 |
| 6 | 2,52 |
| 8 | 2,37 |
| 10 | 2,28 |
| 15 | 2,18 |
| 20 | 2,13 |
| 30 | 2,09 |
| 50 | 2,05 |
| 100 | 2,03 |
| ∞ | 2,00 |
Quando veff não é inteiro, a prática do GUM é truncar para o inteiro de baixo (ou interpolar). Note como k cai rápido até veff ≈ 10 e depois muda pouco. Por isso, o esforço para aumentar o número de leituras compensa muito quando se parte de 3 ou 4, e quase nada quando se parte de 30.
Exemplo com manômetro
Na calibração de um manômetro de 0 a 10 bar, o ponto de 6 bar deu uc = 0,012 bar, com veff = 6. Pela tabela, k = 2,52 e U = 2,52 × 0,012 ≈ 0,030 bar. Se o técnico tivesse usado k = 2 “por padrão”, declararia U = 0,024 bar, cerca de 20 % menor. Num instrumento com tolerância de ±0,10 bar e erro de +0,075 bar, a diferença decide o resultado: 0,075 + 0,024 = 0,099 (aprovado pelo critério conservador) contra 0,075 + 0,030 = 0,105 (reprovado).
O caminho inverso também aparece no dia a dia. Quando você usa esse manômetro como padrão para calibrar outro instrumento, a parcela dele no novo orçamento é U/k = 0,030/2,52 ≈ 0,012 bar. Dividir por 2 daria 0,015 bar e inflaria a incerteza herdada sem motivo.
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Outros valores de k
- k = 1: é a própria incerteza-padrão, cerca de 68 % para distribuição normal. Usado em cálculos intermediários, raramente em certificado.
- k = 3: cerca de 99,73 % para distribuição normal, usado em aplicações de segurança ou quando o cliente exige maior abrangência.
- Componente retangular dominante: se uma única fonte com distribuição retangular (como a resolução de um instrumento grosseiro) responde por quase toda a incerteza, a combinação não fica normal, e o GUM alerta que a abordagem com t pode não ser adequada. Nesses casos, vale revisar o modelo ou usar métodos numéricos, como Monte Carlo.
O erro mais comum
Copiar “k = 2” de um modelo de planilha e nunca mais olhar para ele. Laboratórios que fazem 3 leituras por ponto e declaram k = 2 estão, quase sempre, subestimando a incerteza. Na hora de ler um certificado, confira se o k declarado conversa com a quantidade de leituras e com o veff informado.
No Sismetro, a memória de cálculo de cada ponto mostra o veff obtido e o k correspondente pela distribuição t de Student, com probabilidade de abrangência de 95,45 %, antes de chegar à incerteza expandida. No recebimento de certificados de terceiros, o k declarado pelo laboratório é registrado junto com U e veff, para que a incerteza herdada seja calculada com o divisor certo. Veja como funciona no módulo de calibração e metrologia.
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