Incerteza expandida (U) é a incerteza-padrão combinada multiplicada pelo fator de abrangência: U = k·uc. O fator k define a probabilidade de abrangência do intervalo resultado ± U. Com muitos graus de liberdade, k = 2 dá cerca de 95,45 %; com poucos, o GUM manda tirar k da distribuição t de Student, e ele pode passar de 2,5 ou até de 3.
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Resumo rápido
- U = k·uc. O k vem da tabela t de Student (GUM, anexo G, tabela G.2) para os graus de liberdade efetivos (veff) e a probabilidade escolhida.
- veff sai da fórmula de Welch-Satterthwaite. Componentes tipo A com poucas leituras derrubam o veff; tipo B bem conhecidas costumam ter ν infinito.
- k = 2 só equivale a cerca de 95 % quando veff é grande. Com veff = 4, o intervalo de ±2uc cobre só uns 88 %.
- U é declarada com no máximo dois algarismos significativos (ILAC P14, item 5.3; NIT-Dicla-021, item A.6.3).
- Laboratório acreditado não declara U menor que a CMC do escopo (ILAC P14, item 5.5).
U = k·uc: o que cada termo significa
A U é o número que aparece no certificado e o que você usa para aprovar ou reprovar um instrumento. Por isso entender de onde vem o k não é preciosismo: um k errado muda o tamanho do intervalo e, perto do limite, muda a decisão.
- uc (incerteza-padrão combinada): a raiz da soma dos quadrados das incertezas-padrão de cada fonte, multiplicadas pelos coeficientes de sensibilidade. Equivale a um desvio-padrão. Como montar essa soma está em incerteza combinada.
- k (fator de abrangência): o número maior que um que “estica” uc até o intervalo cobrir a probabilidade desejada.
- U (incerteza expandida): a meia largura do intervalo de abrangência. O VIM a define como o produto de uc por um fator maior que um.
Uma incerteza de 0,10 °C com k = 2 e outra de 0,10 °C com k = 3 não são a mesma coisa: a segunda tem uc menor e um intervalo com probabilidade maior. A ABNT NBR ISO/IEC 17025:2017 exige que o certificado traga a incerteza de medição (item 7.8.4.1), e a ILAC P14:09/2020 (item 5.2) exige que o fator de abrangência e a probabilidade de abrangência venham declarados junto.
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De onde vem o k = 2
Numa distribuição normal, ±1 desvio-padrão cobre 68,27 % da área; ±2 desvios cobrem 95,45 %; ±3 cobrem 99,73 %. O k = 2 dos certificados é só isso: média ± 2 desvios de uma normal.
A conta pressupõe que o desvio-padrão é conhecido com precisão. Quando uc depende de três ou quatro leituras, a própria estimativa do desvio é incerta. A distribuição t de Student corrige isso: com poucos graus de liberdade ela é mais larga que a normal, e o k para a mesma probabilidade é maior.
O próprio GUM, na tradução do Inmetro, delimita quando k = 2 basta. O item G.6.6 diz que dá para adotar k = 2 e assumir cerca de 95 % quando várias fontes contribuem de forma comparável, a combinação é aproximadamente normal e veff é significativo, da ordem de mais de 10. O mesmo item avisa que, com veff = 11, k = 2 já subestima o t de 95 % em cerca de 10 %.
Tabela do fator k por graus de liberdade efetivos
Os valores de k abaixo são os da tabela G.2 do GUM (JCGM 100:2008, anexo G, p. 78 da edição do BIPM), coluna de 95,45 %, conferidos com a distribuição t de Student (scipy). A terceira coluna é conta nossa: a probabilidade que um intervalo de ±2uc cobre de verdade com aquele veff.
| veff | k para 95,45 % (GUM, tabela G.2) | Probabilidade real coberta por k = 2 |
|---|---|---|
| 1 | 13,97 | 70,5 % |
| 2 | 4,53 | 81,6 % |
| 3 | 3,31 | 86,1 % |
| 4 | 2,87 | 88,4 % |
| 5 | 2,65 | 89,8 % |
| 6 | 2,52 | 90,8 % |
| 8 | 2,37 | 91,9 % |
| 10 | 2,28 | 92,7 % |
| 20 | 2,13 | 94,1 % |
| 50 | 2,05 | 94,9 % |
| ∞ | 2,00 | 95,45 % |
Repare no formato da curva. De veff = 2 para 5, k cai de 4,53 para 2,65. De 20 para infinito, cai só de 2,13 para 2,00. Aumentar o número de leituras compensa muito quando se parte de três ou quatro, e quase nada quando se parte de trinta. A coluna da direita é a ressalva que falta em muito procedimento: um certificado com k = 2 fixo e veff = 4 promete 95 % e entrega uns 88 %.
Como chegar ao veff
Os graus de liberdade efetivos vêm da fórmula de Welch-Satterthwaite (GUM, item G.4.1): veff = uc⁴ / Σ (ui⁴/νi). Componentes tipo A com n leituras têm ν = n − 1; componentes tipo B bem conhecidas costumam ter ν infinito e somem do denominador. Quando veff não é inteiro, o GUM orienta interpolar na tabela ou truncar para o inteiro de baixo. A diferença entre as componentes está em incerteza tipo A e tipo B.
Exemplo de Welch-Satterthwaite com duas fontes finitas. Situação de exemplo, com números ilustrativos. Um dinamômetro digital de 0 a 500 N, resolução de 0,1 N, é calibrado em 300 N contra uma célula de carga padrão. O certificado da célula declara U = 0,45 N com k = 2,52 e veff = 6. Cinco leituras: 300,4; 300,9; 300,6; 300,2 e 300,8 N.
| Fonte | ui (N) | νi | ui⁴/νi (N⁴) | Contribuição |
|---|---|---|---|---|
| Repetitividade: s = 0,286 N, média de 5 leituras (0,286/√5) | 0,128 | 4 | 0,0000672 | 33 % |
| Célula padrão (0,45/2,52) | 0,179 | 6 | 0,0001695 | 65 % |
| Resolução (0,05/√3, retangular) | 0,029 | ∞ | 0 | 2 % |
| Combinada | 0,222 | 0,0002367 | 100 % |
uc⁴ = 0,2216⁴ = 0,002413 N⁴. Então veff = 0,002413 / 0,0002367 = 10,2, truncado para 10. A tabela dá k = 2,28 e U = 2,28 × 0,2216 = 0,506 N, declarada como U = 0,51 N. Com k = 2 “por padrão”, o certificado diria 0,44 N, um intervalo 13 % mais estreito. O detalhe que muita planilha erra: o νi da célula padrão vem do certificado dela. Tratar essa parcela como ν infinito daria veff de cerca de 36 e k ≈ 2,07.
Exemplo: termômetro de câmara de congelados
Situação de exemplo, com números ilustrativos. Um termômetro digital com resolução de 0,1 °C, usado numa câmara de congelados, é calibrado em banho a −18,00 °C contra uma termorresistência padrão (certificado com U = 0,030 °C e k = 2). Quatro leituras: −17,8; −17,9; −17,8 e −17,7 °C. A média é −17,80 °C e o erro é +0,20 °C.
| Fonte | Tipo | ui (°C) | ν | Contribuição |
|---|---|---|---|---|
| Repetitividade (4 leituras, s = 0,082 °C) | A | 0,041 | 3 | 58 % |
| Resolução (±0,05 °C, retangular) | B | 0,029 | ∞ | 29 % |
| Padrão (0,030/2) | B | 0,015 | ∞ | 8 % |
| Estabilidade do banho (±0,02 °C, retangular) | B | 0,012 | ∞ | 5 % |
| Combinada | 0,053 | 8,8 | 100 % |
Com veff = 8,8, truncado para 8, a tabela dá k = 2,37. Então U = 2,37 × 0,0535 = 0,127 °C, declarado como U = 0,13 °C. Com k = 2, o certificado diria 0,11 °C, um intervalo cerca de 16 % mais estreito do que os dados sustentam.
Agora o mesmo instrumento, com o mesmo desvio-padrão, mas dez leituras em vez de quatro. A parcela tipo A cai para 0,026 °C, uc vai para 0,043 °C, veff sobe para cerca de 70 e k fica em torno de 2,04. Resultado: U ≈ 0,088 °C. Seis leituras a mais cortaram U em um terço, e boa parte do ganho veio do k.
Quando k é diferente de 2
- Poucas leituras e repetitividade dominante. É o caso do termômetro e o mais comum em calibração de campo, feita com pressa durante a parada.
- Componente tipo B com graus de liberdade finitos. É o caso da célula padrão do dinamômetro: o veff do certificado do padrão entra como νi da parcela herdada.
- Outra probabilidade de abrangência. Aplicações de segurança ou exigência de cliente podem pedir k = 3 (cerca de 99,73 %). A tabela G.2 também tem colunas para 68,27 %, 90 %, 95 % e 99 %.
- Componente retangular dominante. Se uma única fonte retangular, como a resolução de um instrumento grosseiro, responde por quase toda a incerteza, a combinação deixa de ser aproximadamente normal. Para uma retangular pura, o intervalo de 95,45 % corresponde a k ≈ 1,65, e não 2. A saída é revisar o modelo ou usar simulação de Monte Carlo (Suplemento 1 do GUM, JCGM 101:2008). Por que a retangular divide por √3 está em distribuições retangular e triangular.
Arredondamento e incerteza relativa
A regra dos dois algarismos tem três fontes que dizem a mesma coisa. A ILAC P14:09/2020, item 5.3, manda declarar U com no máximo dois algarismos significativos e arredondar só depois de todas as contas. A NIT-Dicla-021 da Cgcre (rev. 10, item A.6.3, disponível no espelho de documentos da Cgcre mantido pelo CDTN) repete a regra e acrescenta que o resultado da medição é arredondado para o último algarismo significativo de U. O GUM (item 7.2.6) admite arredondar a incerteza para cima, em vez de para o mais próximo, e pede bom senso nos casos limítrofes.
Nos exemplos: 0,127 °C vira 0,13 °C, e o erro é informado como +0,20 °C; 0,506 N vira 0,51 N, e o erro do dinamômetro, 300,58 − 300,00, é informado como +0,58 N. Declarar “U = 0,50614 N” não é mais exato, só é mais difícil de ler.
Muitos certificados trazem também a incerteza relativa, U dividida pelo valor medido, em porcentagem. Ela ajuda a comparar pontos diferentes da faixa, mas perde sentido perto do zero, em −18 °C ou em 0 bar. Para comparar com a tolerância, use sempre U na unidade da grandeza.
Por que a U não pode ser menor que a CMC?
A CMC (capacidade de medição e calibração) é a menor incerteza que um laboratório acreditado consegue numa calibração de rotina daquele serviço, publicada no escopo. A ILAC P14, item 5.5, proíbe declarar incerteza menor que a CMC; a NIT-Dicla-021, item A.6.5, diz o mesmo e acrescenta que a Cgcre trata a declaração menor como serviço fora do escopo, com as penalidades da NIT-Dicla-031. A U do certificado pode ser igual ou maior, porque o instrumento do cliente acrescenta fontes que o “melhor dispositivo existente” da CMC não tem.
No exemplo do dinamômetro, se a CMC do laboratório em 300 N fosse 0,60 N (número ilustrativo), o certificado teria de trazer U = 0,60 N, nunca 0,51 N, mesmo que a planilha desse 0,51. Para conferir a CMC de um fornecedor, use a consulta RBC; para entender a rede, veja o que é a RBC.
O caminho inverso: usar o k do certificado do padrão
Quando um instrumento calibrado passa a ser padrão de outra calibração, a parcela dele no novo orçamento é U/k, usando o k que está no certificado dele. Com U = 0,45 N e k = 2,52, a parcela é 0,179 N. Dividir por 2 daria 0,225 N e inflaria a incerteza herdada sem motivo. O erro inverso, dividir por 2,52 quando o certificado diz k = 2, subestima.
Erros comuns com U e k
- Fixar k = 2 numa planilha e nunca mais olhar para veff.
- Tratar como ν infinito a parcela de um padrão cujo certificado declara veff finito.
- Declarar U sem k e sem probabilidade de abrangência. O número fica sem significado.
- Comparar U de laboratórios diferentes sem conferir se o k é o mesmo.
- Achar que U é a tolerância do instrumento. U é o quanto se sabe sobre a medição; tolerância é o quanto o processo admite. A comparação entre os dois é feita no critério de aceitação.
Como o Sismetro ajuda
No software de calibração do Sismetro, o certificado emitido sai das leituras ponto a ponto, com cálculo de erro, uc, veff, k pela t de Student para 95,45 % e U, e a memória de cálculo fica guardada com a contribuição de cada fonte, a incerteza herdada do padrão, a histerese e a correção do padrão. O cadastro de padrões guarda a validade do último certificado, e cada certificado emitido tem página de validação de autenticidade com histórico de versões. Para quem só recebe certificados de terceiros, os resultados são digitados por canal, com o PDF anexado e aprovação com login e senha. Há plano grátis, planos pagos e Enterprise.
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Teste rápido para os seus certificados
Separe três certificados de laboratórios diferentes e anote, para um ponto de cada, U, k, probabilidade, veff (se houver) e número de leituras. Se algum declara k = 2 com três leituras e repetitividade alta, pergunte ao laboratório como chegou a esse k. Se algum traz U com quatro algarismos, ou menor que a CMC publicada, peça a revisão. O passo a passo completo, desde as leituras, está em como calcular incerteza de medição, e o guia de calibração mostra onde a incerteza entra no programa.
Perguntas frequentes
Como calcular a incerteza expandida?
Multiplique a incerteza-padrão combinada pelo fator de abrangência: U = k·uc. O k vem da distribuição t de Student para a probabilidade escolhida (em geral 95,45 %) e para os graus de liberdade efetivos calculados por Welch-Satterthwaite. Com veff grande, k = 2.
O que significa k = 2 no certificado de calibração?
Significa que a incerteza expandida é o dobro da incerteza-padrão combinada. Se a distribuição for aproximadamente normal e os graus de liberdade efetivos forem grandes, o intervalo resultado ± U cobre cerca de 95,45 % dos valores que podem ser atribuídos ao mensurando.
Quando o fator de abrangência é diferente de 2?
Quando os graus de liberdade efetivos são baixos, em geral porque poucas leituras foram feitas e a repetitividade pesa muito no orçamento. Também muda se a probabilidade pedida for outra, como k = 3 para cerca de 99,73 %, ou quando uma componente retangular domina a incerteza.
Qual a diferença entre 95 % e 95,45 % de probabilidade de abrangência?
Na distribuição normal, k = 2 corresponde a 95,45 % e k = 1,96 corresponde a 95 %. A tabela G.2 do GUM traz as duas colunas, e o certificado precisa declarar k e a probabilidade usados.
Com quantos algarismos significativos declarar a incerteza expandida?
Com no máximo dois algarismos significativos, segundo a política ILAC P14:09/2020 (item 5.3) e a NIT-Dicla-021 (item A.6.3). O arredondamento é feito só no fim das contas, e o resultado da medição é arredondado para a mesma casa decimal de U.
A incerteza do certificado pode ser menor que a CMC do laboratório?
Não. Laboratório acreditado não pode declarar incerteza menor que a CMC do escopo para aquele serviço (ILAC P14, item 5.5; NIT-Dicla-021, item A.6.5). Pode declarar igual ou maior, porque o instrumento do cliente acrescenta fontes como resolução e repetitividade.