Na incerteza de medição, as distribuições retangular e triangular são modelos usados para transformar um limite ±a em incerteza-padrão: na retangular, divide-se a por √3; na triangular, por √6. A triangular vale quando os valores perto do centro são mais prováveis do que os extremos; a retangular, quando não há nenhuma informação sobre onde o valor está dentro dos limites.
Resumo rápido
- Retangular: u = a/√3 ≈ 0,577 × a. É a escolha padrão para resolução, especificação de fabricante e limites sem mais informação.
- Triangular: u = a/√6 ≈ 0,408 × a. Exige um motivo para acreditar que o valor tende ao centro.
- Em U (arco-seno): u = a/√2 ≈ 0,707 × a. Serve para grandezas que oscilam entre os extremos, como uma temperatura controlada por liga-desliga.
- Normal: quando o dado vem de um certificado com U e k, divide-se U pelo k declarado.
- Para o mesmo ±a, trocar retangular por triangular reduz a componente em cerca de 29 %. Por isso a escolha precisa estar justificada no procedimento.
Por que a incerteza tipo B precisa de uma distribuição?
Porque a informação disponível quase nunca é um desvio-padrão. O fabricante diz “exatidão ±0,3 °C”, o display mostra uma casa decimal, o banho é especificado como “estável dentro de ±0,02 °C”. São limites, e a conta de incerteza trabalha com desvios-padrão. A distribuição de probabilidade é a ponte entre um e outro.
O GUM (JCGM 100:2008) trata disso nos itens 4.3.7 a 4.3.9, que descrevem a distribuição retangular, a trapezoidal e a triangular para avaliações tipo B. A tradução do Inmetro, GUM 2008, mantém a mesma numeração. O guia europeu EA-4/02, usado por laboratórios de calibração acreditados, traz as mesmas formas com exemplos.
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Qual divisor usar em cada distribuição?
A tabela abaixo usa a mesma semiamplitude, a = 0,6 °C, para mostrar quanto a escolha muda o número.
| Distribuição | Quando usar | Divisor | u para a = 0,6 °C |
|---|---|---|---|
| Normal, com k declarado | Valor de certificado de calibração com U e k | k do certificado | Se U = 0,6 °C e k = 2: 0,300 °C |
| Retangular (uniforme) | Só se conhecem os limites; qualquer valor entre eles é igualmente provável | √3 ≈ 1,732 | 0,346 °C |
| Triangular | Limites conhecidos e valores perto do centro mais prováveis | √6 ≈ 2,449 | 0,245 °C |
| Em U (arco-seno) | Grandeza que passa mais tempo perto dos extremos, como uma oscilação senoidal | √2 ≈ 1,414 | 0,424 °C |
Existe ainda a trapezoidal, um meio-termo entre retangular e triangular, com divisor que depende da proporção entre a base menor e a base maior do trapézio (GUM 4.3.9). Na calibração industrial ela aparece pouco.
De onde vêm √3 e √6?
São a raiz da variância de cada forma. Para uma distribuição retangular entre −a e +a, a variância é a²/3; o desvio-padrão, portanto, é a/√3. Para uma triangular simétrica com a mesma base, a variância é a²/6, e o desvio-padrão é a/√6. Na distribuição em U, a variância é a²/2.
A intuição ajuda a lembrar. Quanto mais a probabilidade se concentra no centro, menor o desvio-padrão para os mesmos limites. A triangular concentra mais do que a retangular, que concentra mais do que a em U. Por isso os divisores crescem nessa ordem: √2, √3, √6.
Quando usar a distribuição triangular?
A triangular é a escolha certa quando existe uma razão física ou estatística para os valores ficarem mais perto do centro. Três situações comuns:
- Diferença ou soma de duas grandezas retangulares de mesma largura. Se cada uma varia uniformemente em ±a, a soma varia em ±2a com forma triangular. É o que acontece, por exemplo, quando duas leituras com a mesma resolução são subtraídas.
- Dados históricos mostrando concentração no centro. Um mapeamento térmico em que a maior parte dos registros fica perto do setpoint e só eventualmente encosta nos limites.
- Controle ativo da grandeza. Um sistema que corrige o desvio e raramente deixa a variável chegar ao limite especificado.
O que não justifica a triangular é querer um U menor. Se o único dado é “±0,6 °C, conforme o fabricante”, sem nada sobre a forma, o GUM indica a retangular, que é a hipótese mais conservadora entre as duas.
Quando usar a distribuição em U?
Quando a grandeza passa mais tempo nos extremos do que no meio. O exemplo clássico é uma variação senoidal: a temperatura de uma sala com ar-condicionado em controle liga-desliga sobe até o limite, o compressor entra, ela desce até o outro limite, e assim por diante. Se você amostra num instante qualquer, é mais provável pegá-la perto de um dos extremos. Nesse caso, a retangular subestima a incerteza, e o divisor correto é √2. O GUM não traz essa forma como regra geral no texto principal; ela aparece no exemplo H.1.3.4, justamente para a oscilação da temperatura de um banho.
Exemplo: a mesma câmara climática com três hipóteses
Situação de exemplo, com números ilustrativos. Um registrador de temperatura é calibrado a 25 °C dentro de uma câmara climática especificada com estabilidade de ±0,6 °C. O orçamento tem ainda duas componentes: o termômetro padrão, com incerteza-padrão de 0,10 °C, e a repetitividade das leituras, com 0,08 °C. O que muda conforme a forma atribuída à estabilidade da câmara:
| Hipótese para a câmara | u da câmara | uc | U (k = 2) | Peso da câmara na variância |
|---|---|---|---|---|
| Retangular (só a especificação) | 0,346 °C | 0,369 °C | 0,74 °C | 88 % |
| Triangular (mapeamento mostra concentração no setpoint) | 0,245 °C | 0,276 °C | 0,55 °C | 79 % |
| Em U (controle liga-desliga oscilando entre os limites) | 0,424 °C | 0,443 °C | 0,89 °C | 92 % |
A conta da linha retangular: uc = √(0,10² + 0,08² + 0,346²) ≈ 0,369 °C, e U = 2 × 0,369 ≈ 0,74 °C. Na hipótese retangular, o U fica cerca de 34 % maior do que na triangular. Se o critério de aceitação do registrador for ±1,0 °C, a diferença decide se sobra folga para o erro ou não.
A lição prática: quando uma única componente responde por quase 90 % da variância, a forma atribuída a ela é a decisão mais importante do orçamento. Vale gastar tempo com um mapeamento ou um registro histórico para justificar a escolha.
Como escolher a distribuição na prática
- O dado vem de um certificado com U e k? Use a normal e divida pelo k declarado.
- O dado é a resolução de um indicador? Retangular, com a igual à metade do menor dígito ou da menor divisão.
- O dado é um limite de especificação sem informação adicional? Retangular.
- Há evidência registrada de que os valores ficam perto do centro? Triangular, citando a evidência no procedimento.
- A grandeza oscila entre os limites? Em U.
- Registre a escolha e o motivo na memória de cálculo. O avaliador da acreditação e o auditor do cliente vão perguntar.
Erros comuns
- Usar a resolução inteira como a. Com resolução de 0,1 °C, a semiamplitude é 0,05 °C, e u = 0,05/√3 ≈ 0,029 °C.
- Dividir um intervalo de 95 % por √3. Se a especificação já vem como intervalo com 95 % de confiança, o GUM (item 4.3.4) manda tratar como normal, com divisor 1,96.
- Escolher triangular por padrão. Sem evidência, a escolha reduz a incerteza de forma artificial.
- Mudar a distribuição entre calibrações do mesmo instrumento. O histórico de U deixa de ser comparável, e a análise de deriva perde sentido.
Como o Sismetro ajuda
No Sismetro, a memória de cálculo de cada ponto do certificado mostra cada componente com estimativa, divisor, coeficiente de sensibilidade e contribuição, incluindo resolução do instrumento, repetitividade e a incerteza herdada do padrão. Assim, quem revisa o certificado vê qual divisor foi aplicado em cada fonte, sem abrir planilha. O módulo de calibração e metrologia tem plano grátis para começar, com os primeiros certificados do ano sem custo.
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O próximo passo
Abra a memória de cálculo de um certificado emitido pelo seu laboratório e procure as componentes divididas por √6. Para cada uma, pergunte qual registro justifica a forma triangular. Se a resposta for “sempre fizemos assim”, troque por retangular e veja o que acontece com o U. Para encaixar as componentes no restante da conta, veja incerteza combinada, incerteza tipo A e tipo B e como calcular incerteza de medição. O resumo do conceito está em incerteza de medição.
Se você chegou aqui pela conta e quer ver o processo inteiro, comece pelo guia de calibração.
Perguntas frequentes
O que é incerteza triangular?
É a incerteza-padrão calculada supondo distribuição triangular para uma fonte com limites ±a. O valor é a/√6, cerca de 0,41 × a. Ela se aplica quando os valores perto do centro do intervalo são mais prováveis do que os extremos.
Por que dividir por √3 na distribuição retangular?
Porque o desvio-padrão de uma distribuição uniforme entre −a e +a é a/√3. Dividir a semiamplitude por √3 converte o limite em incerteza-padrão, que é a forma usada na combinação de incertezas.
Quando usar retangular e quando usar triangular?
Use retangular quando só os limites são conhecidos, como na resolução ou na especificação do fabricante. Use triangular quando há evidência de que os valores se concentram no centro, como dados de mapeamento ou a soma de duas fontes retangulares de mesma largura.
Qual divisor usar para a resolução de um instrumento digital?
Retangular, com a igual à metade da resolução. Um indicador com resolução de 0,01 tem a = 0,005, e a incerteza-padrão é 0,005/√3 ≈ 0,0029 na unidade do instrumento.
O que é distribuição em U na incerteza de medição?
É a distribuição arco-seno, usada quando a grandeza passa mais tempo perto dos limites, como numa oscilação senoidal de temperatura. O divisor é √2, então a incerteza-padrão é cerca de 0,71 × a.