Incerteza combinada (uc) é a incerteza-padrão do resultado de uma medição, obtida pela raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes de incerteza, cada uma multiplicada pelo seu coeficiente de sensibilidade. Ela é o passo entre o orçamento de incerteza e a incerteza expandida U = k × uc que aparece no certificado de calibração.
Resumo rápido
- Fórmula básica (componentes independentes): uc = √[(c1·u1)² + (c2·u2)² + … + (cn·un)²].
- Antes de combinar, toda componente precisa estar como incerteza-padrão: U do certificado dividido pelo k dele, resolução e especificações divididas por √3 (retangular) ou √6 (triangular).
- O coeficiente de sensibilidade ci converte a unidade de cada entrada para a unidade do resultado. Em calibração por comparação direta, ele vale 1.
- Depois da uc vêm os graus de liberdade efetivos (Welch-Satterthwaite), o fator k e a incerteza expandida.
- Somar as incertezas em linha reta, em vez de somar os quadrados, é o erro mais comum e superestima o resultado.
O que é incerteza combinada?
É o desvio-padrão que representa a dúvida total sobre o resultado, considerando todas as fontes de uma vez. O VIM chama esse conceito de incerteza-padrão combinada e o GUM (JCGM 100:2008) dedica a ela o capítulo 5, com a chamada lei de propagação de incertezas. As duas publicações têm versão em português pelo Inmetro: o VIM 2012 e o GUM 2008.
A palavra “combinada” tem um sentido preciso. Não é a média das incertezas nem a maior delas. É o resultado de propagar cada fonte pelo modelo matemático da medição. Se uma fonte influencia pouco o resultado, ela pesa pouco na uc, mesmo que o número dela pareça grande.
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Qual é a fórmula da incerteza combinada?
Para um resultado y = f(x1, x2, …, xn), com entradas independentes entre si, a fórmula do GUM (equação 10) é:
uc²(y) = Σ [ci × u(xi)]², com ci = ∂f/∂xi
Cada termo tem três partes:
| Símbolo | O que é | De onde vem |
|---|---|---|
| u(xi) | Incerteza-padrão da entrada i | Estatística de leituras (tipo A) ou certificado, resolução, especificação (tipo B) |
| ci | Coeficiente de sensibilidade | Derivada parcial do modelo em relação a xi, ou ensaio experimental |
| ci × u(xi) | Contribuição, já na unidade do resultado | Produto dos dois anteriores |
Em calibração por comparação direta, o modelo costuma ser aditivo: erro = leitura do instrumento − leitura do padrão + correções. Todas as derivadas valem 1 ou −1, e a fórmula vira a raiz da soma dos quadrados das incertezas-padrão. É o caso da maioria das calibrações de manômetros, termômetros e paquímetros na indústria.
Quando o modelo tem produtos ou divisões, como em massa específica, vazão ou potência, os coeficientes deixam de ser 1. Para modelos do tipo y = x1 × x2 ou y = x1 / x2, existe um atalho: as incertezas relativas se combinam pela raiz da soma dos quadrados. O exemplo 2, mais abaixo, mostra as duas formas.
Como calcular a incerteza combinada passo a passo
- Escreva o modelo da medição. Uma equação que liga o resultado às entradas, incluindo as correções. Sem modelo não há coeficiente de sensibilidade.
- Liste as fontes de incerteza. Padrão, resolução, repetitividade, efeitos de temperatura, estabilidade do meio (banho, forno, bomba), histerese. Cada fonte relevante vira uma linha do orçamento.
- Converta tudo em incerteza-padrão. U do certificado dividido por k; limites ±a divididos por √3 ou √6, conforme a distribuição de probabilidade; repetitividade como s/√n.
- Calcule os coeficientes de sensibilidade. Pela derivada parcial ou, em modelos aditivos, ci = 1.
- Calcule as contribuições ci × u(xi), todas na unidade do resultado.
- Some os quadrados e tire a raiz. Esse é o uc.
- Calcule os graus de liberdade efetivos e escolha o k, para chegar à incerteza expandida.
Os passos 3 e 4 concentram quase todos os erros. A distinção entre fontes avaliadas por estatística e por outros meios está detalhada em incerteza tipo A e tipo B.
Exemplo 1: termômetro de forno a 180 °C (modelo aditivo)
Situação de exemplo, com números ilustrativos. Um termômetro digital com resolução de 0,1 °C, usado no controle de um forno de cura, é calibrado em forno de bloco seco a 180 °C contra um termômetro padrão. O certificado do padrão informa U = 0,40 °C com k = 2. A especificação do forno de bloco, somando estabilidade e uniformidade axial, é ±0,15 °C. O técnico registra cinco leituras do instrumento: 180,3; 180,1; 180,2; 180,0 e 180,2 °C, com o padrão indicando 180,00 °C.
A média do instrumento é 180,16 °C, então o erro no ponto é +0,16 °C. O desvio-padrão das cinco leituras é 0,114 °C, e a incerteza tipo A da média é 0,114/√5 = 0,051 °C, com 4 graus de liberdade.
| Fonte | Estimativa | Divisor | u (°C) | ci | Contribuição |
|---|---|---|---|---|---|
| Padrão (certificado) | U = 0,40 °C | 2 | 0,200 | 1 | 78,5 % |
| Forno de bloco (estabilidade e uniformidade) | ±0,15 °C | √3 | 0,087 | 1 | 14,7 % |
| Repetitividade (5 leituras) | s = 0,114 °C | √5 | 0,051 | 1 | 5,1 % |
| Resolução do instrumento | ±0,05 °C | √3 | 0,029 | 1 | 1,6 % |
| Incerteza combinada | 0,226 | 100 % |
A conta: uc = √(0,200² + 0,087² + 0,051² + 0,029²) = √0,0510 ≈ 0,226 °C. A coluna de contribuição mostra o peso de cada fonte na variância total (u² dividido por uc²).
O orçamento conta uma história clara: quase 80 % da dúvida vem do padrão. Fazer dez leituras em vez de cinco quase não mudaria nada. Se esse termômetro precisa de uma incerteza menor, o caminho é um padrão melhor, não mais repetições.
Exemplo 2: massa específica (modelo com divisão)
Agora um caso em que os coeficientes de sensibilidade não valem 1. Situação de exemplo: o laboratório de controle de qualidade mede a massa específica de um xarope com um balão volumétrico. O modelo é ρ = m / V.
- Massa: m = 98,450 g, com incerteza-padrão u(m) = 0,010 g.
- Volume: V = 100,00 mL, com incerteza-padrão u(V) = 0,05 mL.
- Resultado: ρ = 98,450 / 100,00 = 0,98450 g/mL.
Coeficientes de sensibilidade, pelas derivadas parciais:
- cm = ∂ρ/∂m = 1/V = 0,0100 mL⁻¹. Contribuição: 0,0100 × 0,010 = 0,00010 g/mL.
- cV = ∂ρ/∂V = −m/V² = −0,009845 g/mL². Contribuição: 0,009845 × 0,05 = 0,00049 g/mL.
Incerteza combinada: uc = √(0,00010² + 0,00049²) ≈ 0,00050 g/mL, ou 0,051 % do resultado. Pelo atalho relativo, o número é o mesmo: √[(0,010/98,450)² + (0,05/100,00)²] = √[(0,0102 %)² + (0,050 %)²] ≈ 0,051 %. Com k = 2, U ≈ 0,0010 g/mL.
O volume responde por 96 % da variância. A balança, que costuma receber mais atenção no laboratório, quase não pesa nesse resultado. É o tipo de conclusão que só aparece quando o coeficiente de sensibilidade entra na conta.
E quando as entradas são correlacionadas?
A fórmula simples vale para entradas independentes. Se duas entradas dependem da mesma fonte, a uc ganha um termo a mais: 2 × ci × cj × u(xi) × u(xj) × r(xi, xj), em que r é o coeficiente de correlação (GUM, item 5.2).
O caso típico na indústria é usar o mesmo padrão para obter duas entradas. Dois pesos calibrados contra a mesma massa de referência e usados juntos numa balança, por exemplo, carregam o mesmo erro do padrão. Nesse caso, as incertezas herdadas do padrão se somam linearmente, e não em quadratura. Ignorar a correlação nessa situação subestima a incerteza. Fora desses casos, a maioria dos procedimentos de calibração industrial trata as entradas como independentes, e o procedimento precisa dizer isso.
Graus de liberdade efetivos: o passo depois da uc
A uc sozinha não diz qual k usar. Para isso o GUM usa a fórmula de Welch-Satterthwaite (anexo G): veff = uc⁴ / Σ [ui⁴ / νi]. Componentes tipo B bem conhecidas entram com ν infinito e saem da soma.
No exemplo 1, só a repetitividade tem ν finito (4). Então veff = 0,226⁴ / (0,051⁴ / 4) ≈ 1.500. Com tantos graus de liberdade, a tabela t de Student dá k = 2,00 para 95,45 % de probabilidade de abrangência, e U = 2,00 × 0,226 ≈ 0,45 °C. O certificado declararia erro de +0,16 °C com U = 0,45 °C.
Se a repetitividade dominasse o orçamento, o veff cairia para perto de 4 e o k subiria para 2,87. A diferença entre os dois cenários é de mais de 40 % no tamanho de U, por isso o veff não é detalhe.
Erros comuns ao combinar incertezas
- Somar em linha reta. 0,200 + 0,087 + 0,051 + 0,029 = 0,367 °C, contra 0,226 °C na soma quadrática. A soma linear só se justifica com correlação total.
- Usar o U do certificado do padrão sem dividir pelo k. A incerteza herdada dobra e passa a dominar orçamentos que ela não domina.
- Misturar unidades. Uma componente em % e outra em bar, combinadas sem converter, dão um número sem significado. O coeficiente de sensibilidade existe para isso.
- Contar a mesma fonte duas vezes. Estabilidade do banho medida pelo próprio padrão e também tirada da especificação do banho, por exemplo.
- Arredondar no meio da conta. Arredonde só o U final, com no máximo dois algarismos significativos.
Como o Sismetro ajuda
No módulo de calibração e metrologia do Sismetro, o técnico registra as leituras do padrão e do instrumento ponto a ponto, e o sistema calcula erro, componentes tipo A e tipo B, incerteza herdada do padrão, incerteza combinada, graus de liberdade efetivos, fator k pela t de Student a 95,45 % e incerteza expandida. A memória de cálculo de cada ponto fica guardada com o orçamento e o gráfico de contribuições, o que facilita responder ao auditor de onde veio cada número. O plano grátis permite começar sem cartão, emitindo ou recebendo os primeiros certificados do ano.
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Para revisar o seu orçamento hoje
Pegue a memória de cálculo de um instrumento crítico e confira três coisas: se todo U de certificado foi dividido pelo k, se a soma é quadrática e se a maior contribuição faz sentido físico. Se a resposta da terceira pergunta surpreender, revise o modelo antes de revisar os números. O exemplo completo, do começo ao fim e com outro instrumento, está em como calcular incerteza de medição, e o conceito resumido está no verbete incerteza de medição.
Para situar a incerteza no restante do processo, do pedido ao certificado, veja o guia de calibração.
Perguntas frequentes
O que é incerteza combinada?
É a incerteza-padrão do resultado de uma medição, obtida combinando todas as componentes de incerteza pela raiz da soma dos quadrados, cada uma multiplicada pelo seu coeficiente de sensibilidade. Ela é representada por uc e serve de base para a incerteza expandida.
Qual a diferença entre incerteza combinada e incerteza expandida?
A combinada (uc) é um desvio-padrão e cobre cerca de 68 % dos valores prováveis em uma distribuição normal. A expandida é U = k × uc, com k escolhido para uma probabilidade de abrangência de cerca de 95 %. O certificado de calibração informa U e k.
Como calcular a incerteza combinada?
Converta cada fonte em incerteza-padrão, multiplique pelo coeficiente de sensibilidade, eleve ao quadrado, some e tire a raiz. Com componentes de 0,200; 0,087; 0,051 e 0,029 °C e coeficientes iguais a 1, a incerteza combinada é 0,226 °C.
O que é coeficiente de sensibilidade?
É o fator que mostra quanto o resultado muda quando uma entrada muda uma unidade. Ele é a derivada parcial do modelo em relação à entrada. Em calibração por comparação direta, vale 1; em modelos com produtos ou divisões, precisa ser calculado.
Posso somar as incertezas diretamente?
Só quando as entradas são totalmente correlacionadas, como incertezas herdadas do mesmo padrão. Para entradas independentes, a soma linear superestima a incerteza; o correto é a soma quadrática prevista no GUM.